Как Путину удаётся управлять такой большой страной?

С Помощью Аппарата Президента.
Собственно, он управляет Аппаратом, а остальное уже дело техники и методов вербовки, и легенды прикрытия.
Сказочник, а люди верят.....

Из всех ветвей власти, осталась только вертикаль,
На орудийный ствол похожая, Самодержавие, понимаешь....

САМо держится.

Аппарат Президента — это исторически устаревшее название, сейчас используется термин Администрация Президента. Администрация — это государственный орган, который обеспечивает деятельность Президента России и контролирует исполнение его решений. 

• Администрация Президента: это современный, официально используемый термин для обозначения структуры, помогающей в работе главе государства.