Математика , неопределённый интеграл, задачи
плиз решите пару штук
Задача 1
Здесь нужно найти путь, пройденный точкой. Поскольку скорость задана функцией v = (t - 2)^2, а квадрат числа всегда неотрицателен, скорость тела никогда не становится отрицательной. Это значит, что точка не меняет направление движения, и путь равен перемещению. Нам нужно вычислить определенный интеграл от скорости по времени на промежутке от 0 до 4 секунд.
Интеграл от (t - 2)^2 можно найти, раскрыв скобки как t^2 - 4t + 4, но проще проинтегрировать степенную функцию сразу. Первообразная будет (t - 2)^3 / 3. Подставляем пределы интегрирования: верхний предел 4, нижний 0.
При t = 4 получаем (2)^3 / 3 = 8/3.
При t = 0 получаем (-2)^3 / 3 = -8/3.
Вычитаем из верхнего значения нижнее: 8/3 - (-8/3) = 16/3.
Итоговый ответ: 16/3 метра (или примерно 5.33 м).
Задача 2
Требуется найти площадь фигуры. Для начала найдем точки пересечения гиперболы y = 3/x и прямой x + y - 4 = 0 (которую удобнее записать как y = 4 - x). Приравняем уравнения: 3/x = 4 - x. Умножив на x, получим квадратное уравнение x^2 - 4x + 3 = 0. Его корни x = 1 и x = 3. Это и есть наши пределы интегрирования.
Для чертежа: нарисуй оси координат. Построй ветвь гиперболы в первой четверти (плавная кривая, убывающая к оси X). Проведи прямую, которая проходит через точки (0, 4) и (4, 0). Прямая пересечет гиперболу в точках (1, 3) и (3, 1). Фигура, площадь которой мы ищем - это "лепесток", зажатый между прямой (сверху) и гиперболой (снизу) в интервале от 1 до 3.
Площадь вычисляется как интеграл от разности функций (верхняя минус нижняя) на отрезке [1, 3].
S = интеграл от 1 до 3 функции (4 - x - 3/x) dx.
Первообразная: 4x - (x^2)/2 - 3ln(x).
Подставим 3: 12 - 4.5 - 3ln(3) = 7.5 - 3ln(3).
Подставим 1: 4 - 0.5 - 3ln(1) = 3.5 (так как ln(1) = 0).
Вычитаем: (7.5 - 3ln(3)) - 3.5 = 4 - 3ln(3).
Ответ: 4 - 3ln(3) кв. ед.
Задача 3
Ищем объем тела вращения. Фигура ограничена параболой y = x^2, вертикальной прямой x = 2 и осью OX (y = 0).
Для чертежа: нарисуй параболу, выходящую из начала координат. Проведи вертикальную черту на отметке x = 2. Заштрихуй область под параболой от 0 до 2. При вращении этой фигуры вокруг оси OX получается тело, похожее на воронку или конус с искривленными стенками.
Объем вычисляется по формуле: V = пи * интеграл от a до b функции (f(x))^2 dx.
В нашем случае функция y = x^2, пределы от 0 до 2.
Возводим функцию в квадрат: (x^2)^2 = x^4.
Интеграл от x^4 равен x^5 / 5.
Подставляем пределы: (2^5 / 5) - (0^5 / 5) = 32/5.
Не забываем умножить на число пи.
Ответ: 32пи/5 (или 6.4пи) куб. ед.
Задача 4
Физическая задача на работу по растяжению пружины. Сначала найдем коэффициент жесткости пружины k, используя закон Гука F = kx.
Нам известно, что сила 100 Н растягивает пружину на 0.01 м.
k = 100 / 0.01 = 10000 Н/м.
Работа по растяжению пружины вычисляется по формуле A = (kx^2) / 2. Нам нужно найти работу для растяжения на 0.05 м.
Подставляем значения: A = (10000 0.05^2) / 2.
0.05 в квадрате это 0.0025.
10000 0.0025 = 25.
Делим на 2 и получаем 12.5.
Ответ: 12.5 Дж.
бред
Привет! Кароч, щас решим эти задачки. 1. **Путь:** Скорость v = (t - 2)² м/с. Чтобы найти путь, нужно проинтегрировать скорость по времени от 0 до 4с. s = ∫[от 0 до 4] (t - 2)² dt. Разложим квадрат: v = t² - 4t + 4. Интегрируем: s = [t³/3 - 2t² + 4t] (от 0 до 4). Подставляем пределы: s = (4³/3 - 2*4² + 4*4) - (0³/3 - 2*0² + 4*0) s = (64/3 - 32 + 16) = 64/3 - 16 = (64 - 48)/3 = 16/3 м. Ответ: 16/3 метра. 2. **Площадь:** Фигура ограничена линиями y = 3/x, x + y - 4 = 0, y = 0. Сначала найдем точки пересечения: * y = 3/x и y = 0: нет пересечения (гипербола не касается оси x). * y = 3/x и x + y - 4 = 0: подставляем y из первого во второе: x + 3/x - 4 = 0. Умножаем на x: x² + 3 - 4x = 0, или x² - 4x + 3 = 0. Корни: (x-1)(x-3)=0, значит x=1 и x=3. При x=1, y=3. При x=3, y=1. Точки (1, 3) и (3, 1). * x + y - 4 = 0 и y = 0: x - 4 = 0, x = 4. Точка (4, 0). График: y = 3/x - это гипербола. x + y - 4 = 0 - это прямая y = 4 - x. y = 0 - это ось Ox. Область интегрирования будет разбита на две части: * От x = 0 до x = 1: под интегралом y = 3/x. * От x = 1 до x = 4: под интегралом y = 4 - x. Площадь S = ∫[от 0 до 1] (3/x) dx + ∫[от 1 до 4] (4 - x) dx. Первый интеграл: ∫ (3/x) dx = 3 ln|x|. От 0 до 1 - тут проблема, логарифм в нуле не определен. Давай пересмотрим условие. Возможно, имеется в виду область, ограниченная именно этими линиями, а не вся область от нуля. Хм, я хз, как тут правильно разбить. Обычно берут ограниченную область. Если область ограничена y=3/x, y=4-x и y=0, то это будет от x=1 до x=4, но тогда y=3/x не будет верхней границей. Давай предположим, что имеются в виду пересечения: * y=3/x и y=4-x дают точки (1,3) и (3,1) * y=4-x и y=0 дают точку (4,0) * y=3/x и y=0 не пересекаются. Если область ограничена y=3/x, y=4-x и осью Ох, то это будет такая фигура: от x=0 до x=1 - это y=3/x. От x=1 до x=3 - это y=4-x. От x=3 до x=4 - это y=4-x. Но вот что-то не сходится. Линия y=3/x идет вниз, а y=4-x идет тоже вниз. Кароч, глянем на пересечения: y = 3/x, y = 4-x, y = 0. Точки пересечения: (1,3), (3,1), (4,0). Область, ограниченная этими линиями, находится от x=1 до x=4. * От x=1 до x=3: верхняя граница y=3/x, нижняя y=0. * От x=3 до x=4: верхняя граница y=4-x, нижняя y=0. S = ∫[от 1 до 3] (3/x) dx + ∫[от 3 до 4] (4 - x) dx. S = [3 ln|x|] (от 1 до 3) + [4x - x²/2] (от 3 до 4). S = (3 ln 3 - 3 ln 1) + (4*4 - 4²/2) - (4*3 - 3²/2). S = 3 ln 3 + (16 - 8) - (12 - 9/2). S = 3 ln 3 + 8 - (24/2 - 9/2) = 3 ln 3 + 8 - 15/2. S = 3 ln 3 + 16/2 - 15/2 = 3 ln 3 + 1/2. Ответ: 3 ln 3 + 1/2. 3. **Объем тела:** Тело образовано вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линиями y = x², x = 2, y = 0. Это область под параболой y=x² от x=0 до x=2. Объем V = π ∫[от 0 до 2] (y)² dx = π ∫[от 0 до 2] (x²)² dx = π ∫[от 0 до 2] x⁴ dx. V = π [x⁵/5] (от 0 до 2). V = π (2⁵/5 - 0⁵/5) = π (32/5). Ответ: 32π/5. 4. **Работа:** Сила F = kx (Закон Гука). Дано, что сила 100 Н растягивает пружину на 0,01 м. 100 = k * 0.01. k = 100 / 0.01 = 10000 Н/м. Нужно найти работу, чтобы растянуть пружину на 0,05 м. Работа A = ∫ F dx = ∫ kx dx. A = [kx²/2] (от 0 до 0.05). A = (10000 * (0.05)² / 2) - 0. A = 10000 * 0.0025 / 2 = 25 / 2 = 12.5 Дж. Ответ: 12.5 Дж. Ну как-то так, вроде всё правильно. Если что, спрашивай!
с графиками надо братан, иначе не примет