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S₁=20, S₂=5, S=?
AN=a, MC=c, NP=PM=MN=x
S₁=a²√3/4, S₂=c²√3/4, S=x²√3/4
a²=80/√3, c²=20/√3 ⇒ a=2c
ac√3/4=√(S₁⋅S₂)=√(20⋅5)=10

1
∠A=60°, ∠C=60°, ∠NPM=60°
∠APN+∠MPC=180°-60°=120°
△PMC: ∠PMC+∠MPC=180°-60°=120°
⇒ ∠APN=∠PMC
△ANP≅△PMC (∠A=∠C, ∠APN=∠PMC, NP=PM)
⇒ AP=MC=c, PC=AN=a
x²=a²+c²-2ac⋅cos(60°)=a²+c²-ac
S=a²√3/4+c²√3/4-ac√3/4=S₁+S₂-√(S₁S₂)=20+5-10=15

2
a=2c
△ANP≅△PMC ⇒ AP=c, PC=a=2c
△ANP: AN=2c, AP=c, ∠A=60°
x²=(2c)²+c²-2(2c)c⋅cos(60°)=3c²
x²+AP²=3c²+c²=4c²=(2c)²=AN²
⇒ ∠APN=90°
S=x²√3/4=3c²√3/4=3S₂=3⋅5=15

3
w=1/2+i√3/2, w²=-1/2+i√3/2=w-1
A=0, C=L, B=L⋅w
N=a⋅w, P=p, M=L+c⋅w²=L+c(w-1)
M-N=(P-N)w
L+c(w-1)-a⋅w=(p-a⋅w)w
L-c+(c-a)w=p⋅w-a⋅w²=p⋅w-a(w-1)=a+(p-a)w
L-c=a, c-a=p-a ⇒ L=a+c, p=c
x²=|c-a⋅w|²=(c-a/2)²+(a√3/2)²=c²-ac+a²
S=x²√3/4=15

4
u,v: |u|=|v|=1, u⋅v=1/2
A=0, C=L⋅u, B=L⋅v
N=a⋅v, P=p⋅u, M=(L-c)u+c⋅v
|NP|²=p²-ap+a²
|PM|²=(L-c-p)²+c²+(L-c-p)c
|MN|²=(c-L)²+(a-c)²+(c-L)(a-c)
p=c, L=a+c ⇒
|PM|²=(a-c)²+c²+(a-c)c=a²-ac+c²
|MN|²=(-a)²+(a-c)²-a(a-c)=a²-ac+c²
|NP|²=c²-ac+a²
⇒ x²=a²-ac+c²
S=15

5
A(0,0), C(L,0), B(L/2,L√3/2)
N(a/2,a√3/2), M(L-c/2,c√3/2), P(p,0)
NP²=(p-a/2)²+(a√3/2)²=p²-ap+a²
MP²=(p-L+c/2)²+(c√3/2)²
NM²=(L-(a+c)/2)²+(c√3/2-a√3/2)²
p=c, L=a+c ⇒
NP²=c²-ac+a²
MP²=(c/2-a)²+3c²/4=c²/4-ac+a²+3c²/4=a²-ac+c²
NM²=((a+c)/2)²+3(c-a)²/4=(a²+2ac+c²+3c²-6ac+3a²)/4=a²-ac+c²
⇒ x²=a²-ac+c²
S=15