8x³+y³=z³, рассмотрим сравнение по модулю 4. ф(4)=2 -- функция Эйлера. x, y, z взаимно-просты, иначе сокращаем.

2^3a ×x³+y³=z³, здесь x, y, z -- нечётные.

2^3a ×x³+y³=z³ mod 4

Нечётные числа взаимно-просты с 4.

По теореме Эйлера x^ф(4)=1 mod 4, если x и 4 взаимно-просты.

0+y=z mod 4

y=z mod 4

z=y+4k