Почему нельзя одновременно использовать новую и старую батарейки (напр., в пульте для телевизора), если старая работает?

Всё очень просто.
У батареек (аккумуляторов) находящихся на разной стадии разрядки различные напряжения и отдаваемые токи.
Поэтому более свежая батарейка будет "заряжать" более разряженную. Что приводит к паразитным токам между самими батарейками и возможному перегреву с самыми непредсказуемыми последствиями. Вот этих возможных последствий и боится производитель и пишет всякие устрашающие надписи чтобы в суды не затаскали. Вспомните надпись на кофе - "осторожно горячее". Как будто холодный кофе это норма.
В случае пульта - возможен очень быстрый разряд свежей батарейки, в худшем варианте - вплоть до взрыва перегретой батарейки и пожара.
Почему пишу "Возможен" - а потому что не проверял и точной информации на это нет, да и особо рисковать не хочется.
У меня два батарейки в пульте для телевизора работают по несколько лет, экономия аховая получается .
И потом:
А как вы собираетесь определить в каком состоянии у вас батарейка? У вас есть тестер нужной точности и с нужными пределами измерения?