Как грамотно по-русски поварежка или половник?

Вообще эти слова равнозначны.
Читаем в ловаре Ожегова: ПОВАРЁШКА, Ци, ж. (разг.) . То же, что половник.

Просто в разных областях России принято говорить то "поварежка", то "половник". В Москве от всех слышу половник, в Питере и в Тюменской области говорят поварешка. Многие питерские старушки шестидесятых-восьмидесятых годов прошлого века называли половником только особую «поварешку» с почти сферическим черпаком примерно на 200 мл - ковшик с длиной ручкой для розлива крюшона и компота.
А еще есть чудесное слово" чумичка". Тоже обозначает половник.
И еще личные пристрастия. Наприямер, я всегда так говорю: "Поварёшка". Меня корёжит слово ПОЛОВНИК. Это слово у меня ассоциируется с половой тряпкой - с ерой и грязной. Фи! . А вот слово ПОВАРЁШКА вызывает эмоции положительные, связанные с чем-то румяным, толстым, нарядным и вкусным.

Я всегда говорю "половник".

я употребляю слово "поварешка". я даже ни разу не слышала, чтобы говорили "половник".

Половник.