док-во формул производных функций tg и ctg

Question

док-во формул производных функций tg и ctg

Олеся Ученик (66), закрыт 14 лет назад

доказательство формул производных функций тангенса и котангенса

Answer 1

Распишем тангенс и котангенс как sinx/cosx и cosx/sinx,тогда воспользуемся формулой производной частного: (u/v)'=(u'v-u'v)/v^2,тогда.
(sinx/cosx)'=(cos^2(x)+sin^2)(x)/cos^2(x).В числителе основное тригонометрическое тождество, оно равно единице, значит (tgx)'=1/cos^2(x)
Так же и с котангенсом (cosx/sinx)'=-sin^2(x)-cos^2(x)/sin^2(x)=-1/sin^2(x).

Answer 2

Получение производной: (tg(x))'=Lim(dx=0)(tg(x+dx)-tg(x))/dx=Lim(((sin(x+dx))*(cos(x))-(sin(x))*(cos(x+dx)))/((c0s(x))*(cos(x+dx))*dx)=Lim((sin(x+dx-x))/((cos(x))*(cos(x+dx))*dx)=Lim((sin(dx))/dx)*(1/(cos(x))^2)=1/(cos(x))^2.
Аналогично можно вывести значение производной котангенса.