как извлекают кубический корень?

лопатой

Есть много разных способов, тот же
метод Ньютона, или линейных интерполяций.
Мне же больше нравиться цепные дроби.
Правда это к сожаленью не переодическая
дробь (а бывают и кубические и переодические) .
Пример непереодической цепной дроби:

Кубический корень из числа А - это такое число В, возведя которое в куб (то есть умножив его на себя 3 раза) , мы получим А.
Например:

Есть алгоритм вычисления кубического "на бумажке", но он громоздок и требует подбора чисел на некоторых шагах.
Есть разложения функции "кубический корень" по разным функциональным системам - вычисляйте.

На практике удобнее пользоваться логарифмированием (см. выше Александра Анатольевича) , а ещё лучше и удобнее - калькулятором :).