Помоги с задчкой по геометрии

Question

Помоги с задчкой по геометрии

Ольга Гуру (2728), закрыт 14 лет назад

На сторонах АС и ВС Треугольника АВС соответственно обозначели точки М и Н так, что АН=ВМ=АВ .Отрезки АН и ВМ пересекаються в точке Р .
Доказать ,что угол АРМ=2 углам АСВ.

Задача №2
В прямоугольном треугольнике АВС проведены бисектриссы АР и BQ острых углов, а в треугольниках АСР и ВСQ -соответственно медианы СМ и СН.
Доказать, что угол СМР= углу СНQ= 90 градусов

Дополнен 14 лет назад

В задаче №2 доказать нужно что что угол СМР+угол СНQ= 90 градусов

Answer 1

№1
Обозначим:
угол CAB = а
угол CBA = b
угол ACB = c.
c = 180-a-b

Рассмотрим треуг. ABM:
угол BAM = угол BMA = a (треуг. ABM - равнобедренный)

Рассмотрим треуг. ABH:
угол ABH = угол AHB = b (треуг. ABH - равнобедренный)
угол BAH = 180-2b

угол HAC = угол CAB - угол BAH = a-(180-2b) = a-180+2b

Рассмотрим треуг. PAM:
угол APM = 180 - a - (a-180+2b) = 180-a-a+180-2b = 360-2a-2b = 2(180-a-b) = 2c = 2*(угол ACB)
Доказано.

№2
Допустим, угол CMA=90

AM = PM (CM - медиана)

Рассмотрим треуг. CMA:
CA = корень кв. (CM(в квадр. ) + AM(в квадр.) )

Рассмотрим треуг. CMP:
CP = корень кв. (CM(в квадр. ) + PM(в квадр.) ) = корень кв. (CM(в квадр. ) + AM(в квадр.) )

Получаем AC = CP =>
=> угол CAP = угол CPA = (180-угол ACP)/2 = 90/2 = 45 (из треуг. ACP)
Поскольку AP - биссектриса угла CAB, получим:
угол CAB = 2*угол CAP = 90.

Получим, что в треугольнике ABC два прямых угла.

Полученное противоречие означает, что угол CMA не равен 90 градусов.
--------
Проводя аналогичные рассуждения, получаем, что угол CHQ также не равен 90 градусов.