Что означает в математическом анализе восклицательный знак после цифр? пример: 1!

Факториал.

факториал - произведение всех натуральных целых чисел от 1 до искомого, например, 4!=1*2*3*4

Это очень интересная функция.
Для целых положительных чисел она определена как произведение чисел от 1 до n.

Это можно записать как:

n! = n*(n-1)!
0! = 1

Если полученные точки для соединить плавной кривой получается некая функция неизвестного вида и свойств.
Ее назвали гамма-фунцией. Повозившись с преобразованием Лапласа, нашли ее вид.
она обладает похожим свойством для любого положительного действительного числа x > 1.
Г (x+1) = x*Г (x)

Так от простого арифметического действия мы пришли к специальной функции.