как правильно - "меряю" или "мерю"?

Глагол «мерить» состоит из корня «мер-», суффикса «-и-», окончания «-ть». Глаголы, заканчивающиеся на «-ить», относятся во второму спряжению. Они имеют типичные личные окончания при изменении по лицам и числам в формах настоящего времени. В нашем случае:

1 лицо: я мерю – мы мерим
2 лицо: ты меришь – вы мерите
3 лицо: он мерит – они мерят
Таким образом, в соответствие с нормами современного русского языка, слово «мерить» пишется только с суффиксом «-и-». Другие варианты недопустимы. Это касается и слов «отмерить», «замерить», «примерить».
Примеры:

Во время болезни мерить температуру необходимо не менее трех раз в день.
Нельзя всех мерить одной меркой.
Перед покупкой следует внимательно мерить обувь.

Советы преподавателей
Татьяна Воронцова, кандидат филологических наук, репетитор по русскому языку и литературе, автор пособия по подготовке к ЕГЭ по литературе, действующий эксперт ОГЭ по литературе:

Если говорить о литературной норме, то мерить — и только так. Я мерю, ты меришь, он мерит, они мерят… Глагол этот очень старый, из праславянских времен. Во времена Древней Руси он звучал как «мерити» и писался с буквой «ять» вместо корневой «е». Другое дело — глаголы, которые образованы от «мерить» с помощью приставок. Здесь может быть и то, и другое. Если такие глаголы обозначают законченное разовое действие и отвечают на вопрос «что сделать?», мы пишем «и» — например, измерить давление в шинах и подкачать их. Если же глагол обозначает процесс и отвечает на вопрос «что делать?», мы пишем «я» — например, измерять температуру у больного и давать ему лекарство. Обратите внимание: «я» в этом случае будет под ударением, «и» без ударения.