есть ли у самого компа идентификационный номер в сети?

естественно

А как думаешь тебя в сети кто-то находит????

конечно, и где бы ты не лазала в инете за тобой тянутся следы!

Нету ничего у самого компа.Есть у разных его девайсов номера,тот же mac адрес у сетевой карты и т.д. и т.п.

У "ящика с кнопкой" - нет. В сети комп определяется по указанным тобой MAC-адресу сетевухи и IP. И если первое обычно не меняется, то второе - частенько.