чему равна производная от модуля х

ну а в нуле - модуль не дифференцируемый. "Уголок"...

в нуле существуют только односторониие производные

А если Х не известно положительный или отрицательный, как найти производную?
|X|' = X/|X|, т. е. производная от модуля икс равна икс деленный на модуль икс.

Производная от модуля х.
(|x|)'
Модуль х по вашему желанию, всегда можно заменить на √x²,т.е (|x|)' можно найти как производную (√x²).Находим эту производную как производную сложной функции,получаем
(x²)'/2√x²

• Производная числителя равна 2x

2x/2√x²
Сокращаем на 2,получаем
x/√x²
Теперь если хотите,можно вернуться к модулю,тогда получим
x/|x|

Сигнум X?(Я в теме не разбираюсь особо)