Помогите пожалуйста с геометрией!

Question

Помогите пожалуйста с геометрией!

Alexa Мыслитель (5882), закрыт 15 лет назад

Две плоскости α и β пересекаются по прямой m. Прямая a лежит в плоскости α, прямая b– в плоскости β. Эти прямые пересекаются в точке А. докажите, что точка А лежит на прямой m.

Докажите, что если прямая параллельна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна линии их пересечения.

Докажите, что если через две параллельные прямые проходят пересекающиеся плоскости, то линия пересечения параллельна каждой из двух прямых или совпадает с одной из них.

Спасибо всем!

Answer 1

Все точки прямой a принадлежат плоскости α, все точки прямой b принадлежат плоскости β, значит точка их пересечения принадлежит обеим плоскостям, а все такие точки лежат на прямой m.

Пусть это не так. Очевидно, что прямая не может пересекать прямую пересечения плоскостей, так как в этом случае она не будет параллельна плоскостям. Пусть они скрещиваются. Через прямую, скрещивающуюся с данной можно провести только одну плоскость, параллельную данной прямой, значит, 2 плоскости совпадают. Противоречие.

Пусть прямые не совпадают с прямой пересечения плоскостей. Если одна из них пересекает данную прямую, то она пересекает и плоскость, в которой лежит вторая прямая, следовательно прямые скрещиваются.
Если обе прямые пресекают прямую персечения, то они либо скрещиваются либо пересекаются. В этих вариантах мы пришли к противоречию, значит либо прямая пересечения параллельна обеим прямымы, либо совпадает с одной из них и параллельна второй.