Зачем нужен треугольник Паскаля?

Числа в этом треугольнике - это биномиальные коэффициенты (n k). Они же количества сочетаний в комбинаторике. Кроме элементарного разложения бинома ньютона, количество перестановок является частоиспользуемым элементом в комбинаторике, классической вероятности и, в общем, всюду в математике, как любая алгебраическая фундаментальная единица.
Вычисление таких чисел с помощью одного только сложения ( т. е. по методу Паскаля) довольно часто используется в информатике для получения серии биномиальных коэффициентов с основанием не больше 1000. В других случаях, как правило, используется разложение на факториалы (n k) = n!/(k!(n-k)!).