Имеют ли право в школе за одну двойку в четверти оставить ребенка на второй год?

Нет, конечно! Если только он не был переведен в следующий класс условно.
Читайте Закон об образовании (ст. 17, п. 4):

4. Обучающиеся на ступенях начального общего, основного общего и среднего (полного) общего образования, имеющие по итогам учебного года академическую задолженность по одному предмету, переводятся в следующий класс условно. Обучающиеся обязаны ликвидировать академическую задолженность в течение следующего учебного года, образовательные учреждения обязаны создать условия обучающимся для ликвидации этой задолженности и обеспечить контроль за своевременностью ее ликвидации.
Обучающиеся на ступенях начального общего и основного общего образования, не освоившие образовательной программы учебного года и имеющие академическую задолженность по двум и более предметам или условно переведенные в следующий класс и не ликвидировавшие академической задолженности по одному предмету, по усмотрению родителей (законных представителей) оставляются на повторное обучение, переводятся в классы компенсирующего обучения с меньшим числом обучающихся на одного педагогического работника образовательного учреждения или продолжают получать образование в иных формах.