Можно ли работать программистом после окончания компьютерных курсов ???

Смотря какие курсы заканчивать и с какими технологиями работать.
Обычно курсы достаточно короткие и после их окончания мало что усваивается.
Нужно получать опыт работы и начинать практически с нуля. А одновременно нужно совершенствоваться самостоятельно и изучать новые технологии.
После курсов без специального образования люди обычно занимаются или дизайном, или версткой веб-страниц, либо программированием на html.
Т. е. развиваются в области веб-разработок. Потом начинают делать сайты на PHP/MySQL.
И чем больше изучают технологий, тем больше их опыт и стоимость.
Большинство окончивших курсы работают фрилансерами и выполняют разовые несложные заказы.

По поводу трудоустройства - это сильно зависит от города.
В крупных IT-компаниях есть вакансии стажеров и молодых специалистов. На эти вакансии есть конкурс. Если у вас нет профильного образования, но есть знания предметной области, то Вы сможете выполнить тестовое задание и попасть в штат. Если нет высшего образования вообще - то это может быть минусом. На эти же вакансии есть люди с высшим образованием и возможно с такими же навыками.

Можно получить опыт работы в небольших компаниях и после этого позиционировать себя, как разработчика в конкретной области. Тогда будут смотреть в первую очередь на опыт, а потом на образование. А попасть в небольшие IT-компании легко, если у Вас не очень большие запросы по заработной плате.

Т. е. изначально нужно выбрать профиль обучения. Потом наметить путь развития. И постоянно совершенствоваться, т. к. ни одни курсы не дадут Вам практического опыта, который так сильно ценится у работодаталей.