Чем quickly отличается от Fast?

Вообще, и quickly, и fаst - это синонимы. Но разница есть, хотя бы потому, что quickly - это наречие, переводится быстро, скоро, поспешно, а fast может быть и существительным - переводится "пост"; и глаголом - переводиться "воздерживаться от еды, держать пост", и прилагательным - который помимо "быстрый", "стремительный" может переводится как "легкомысленный", "стойкий, твердый", "неточный", и, наконец, наречием, так же, как quickly - крепко, прочно и т. п.
А если вы имеете ввиду разницу именно в значении "быстрый" - то, в принципе, ее и нет. С лингвистической тчк зрения - это синонимы.