Как доказать формулу Муавра?

Конечно, проще всего через формулу Эйлера - если она уже известна.
Но можно и напрямую, из определения. По индукции:
(cos x + i sin x)^1 = cos 1x + i sin 1x
(cos x + i sin x)^(n+1)=(cos x + i sin x)^n*(cos x + i sin x)=(cos nx + i sin nx)(cos x + i sin x) =
= (cos nx cos x - sin nx sin x) + i (cos nx sin x + sin nx cos x) = cos (n+1)x + sin (n+1)x