Как правильно "В городе Бишкеке" или "в городе Бишкек"?

Второе.

IMHO
в Москве
но
в городе Москва
С Бешкеком - аналогично

Так как не склоняется В городе Бишкек!

Если речь идёт о наименованиях городов (посёлков и т. п.) , то допускаются оба варианта.

В городе Бишкеке.

Посмотри в Гугле

Грамота. ру (и не только она) однозначно рекомендует склонять оба слова

http://gramota.ru/spravka/buro/search_answer/?s=города+москвы
http://www.gramota.ru/spravka/letters/?rub=rubric_90
http://www.gramma.ru/SPR/?id=3.3

В столице Кыргызстана.