Вы сильно переливали растение, от этого завелись мошки и начали подгнивать корни и стебель растения. Надо обрезать пеперомию до здоровой ткани, срез обработать толченным активированным углем и посадить в свежий грунт и накрыть с верху банкой, примерно за месяц должна укоренится. Грунт должен быть влажным, но не мокрым, не переувлажняйте. Про уход тут читайте:
http://www.floralworld.ru/encyclopedia/plants/Peperomia.html