Почему дивергенция ротора равна нулю?!!!
Если Вы хотите объяснение на пальцах, то дивергенция, в некотором смысле, характеризует наличие у векторного поля источников. Ротор же - это векторное поле, характеризующее "закрученность" другого векторного поля. Источников у этого роторного поля нет (ну, как у магнитного поля) . Вот и получается, что его дивергенция равна нулю.
А если Вы хотите математическое доказательство, то оно есть в любом учебнике векторного анализа, да и самому это доказать нетрудно. Возьмите произвольное векторное поле Ф, запишите его роторное поле покоординатно, и от результата вычислите дивергенцию. Или, если формально, запишите дивергенцию от ротора на набла-языке и заметьте, что Вы имеете дело со смешанным произведением векторов, в котором два сомножителя одинаковы.
Объясняю практически:
Пойдите в ванную, включите душ. Видите отверстия, дырочки из которых льется вода, так вот если представить льющаяся вода векторное поле, то эти дырочки есть divirgentio.
С ротором посложнее. Возьмем грузик с веревочкой раскрутим его, скорость грузика в каждой точке его траектории (окружности) опять же образует векторное поле, ротор от этого поля равен удвоенной угловой скорости вращения грузика. rotatio - вращение.
Теперь еще сложнее заменим ротор и дивергенцию вектором Набла это такой символ в виде треугольника
со стрелкой над ним. (Все-таки что бы лучше понять что это такое лучше заглянуть в учебник по векторному анализу) . Пусть у нас есть опять векторное поле А . Тогда векторное умножение А на треуг. , а потом еще на скалярное произведение, из свойств этих следует что вектор Набла перпендикулярен сам себе, а это дает ноль.. . Вот так!
компоненты ротора вектора А равны
Подставляя в это выражение компоненты ротора А и учитывая тот факт, что порядок вычисления смешанных производных произволен, т. е. что, например, d²Ах/dzdу= d²Ах/dydz, легко убеждаемся в равенстве нулю дивергенции ротора произвольного вектора А.
ротор вектора - это векторное произведение оператора Набла на вектор
дивергенция вектора - это скалярное произведение оператора Набла на вектор
дивергенция ротора - получается смешанное произведение (Набла, [Набла, А]) , в котором присутствует два одинаковых вектора, а значит оно равно нулю.
Михаил Левин, как видите, "теорема" несложная, вопрос в том знаете ли Вы ее=)
и что ты ждешь? Что тут тебе теорему докажем, которую ты в учебнике ленишься найти?
И как тут рисовать интегралы?