Как правильно писать: В ПРОДОЛЖЕНИИ РАЗГОВОРА ИЛИ В ПРОДОЛЖЕНИЕ РАЗГОВОРА???

По-разному. Напиши предложение полностью, скажу точно.

В продолжение...

В ПРОДОЛЖЕНИИ - рассмотрим, конкретной темы
В ПРОДОЛЖЕНИЕ - было рассмотрено, общей темы

Смотря в каком случае

Если диалог,, И в продолжении разговора, , а ,,Продолжение разговора, , завтра, послезавтра, так .что оба вопроса правильно поставлены

В продолжении разговора не было смысла.
В продолжение всего разговора мы пили чай.

Все зависит от предложения...

Зависит от предложения

я знаю продолжения многие кончаются на ии

Правильно писать "в продолжение разговора"
http://russkiiyazyk.ru/orfografiya/pravopisanie/kak-pravilno-pishetsya-slovo-v-prodolzhenii-ili-v-prodolzhenie.html