Можно ли выйти замуж в 14 лет по разрешению родителей и т. п.?

По законам РФ - НЕТ! Исключение - на основании законов некоторых субъектов федерации.

Минимальный брачный возраст граждан РФ указан в ст. 13 СК РФ. Он составляет 18 лет, т. к. с наступлением совершеннолетия у гражданина возникает в полном объеме гражданская дееспособность, т. е. способность своими действиями приобретать и осуществлять гражданские и иные права, в том числе по вступлению в брак, создавать для себя гражданские обязанности и исполнять их.

Почему именно 18 лет? Дело в том, что к 18 годам физическое состояние будущих супругов достигает необходимого развития, а это имеет большое значение для рождения и воспитания здорового потомства.

Законодательством установлена возможность снижения брачного возраста.
Брачный возраст может быть снижен до 16 лет, а при наличии особых обстоятельств и менее.

Снижение брачного возраста происходит в основном в случаях:
- беременности будущей супруги;
- рождения ребенка;
- угрозы жизни одной из сторон.
- с разрешения органов местного самоуправления производится заключение брака с лицом, достигшим 16-летнего возраста, и в том случае, если такой несовершеннолетний объявлен полностью дееспособным в силу эмансипации (ст. 27 ГК) , т. е. если он работает по трудовому договору или с согласия родителей, усыновителей или попечителя занимается предпринимательской деятельностью;
-органам местного самоуправления предоставлено право разрешить вступить в брак лицам, достигшим 16 лет, в любых других случаях, которые будут признаны ими уважительными.
Законодатель предусмотрел возможность вступления в брак, (в виде исключения) и с учетом особых обстоятельств, до достижения 16-летнего возраста. Однако, соответствующая возможность должна быть предусмотрена законом субъекта РФ.

Вопрос о разрешении брака лицам моложе шестнадцати лет решается в семейном законодательстве несколько иначе. Такое разрешение администрация может дать только в виде исключения и при наличии особых обстоятельств. Такими обстоятельствами могут быть рождение несовершеннолетней ребенка или беременность. Семейный кодекс РФ не устанавливает как нижней границы, до которой может быть снижен брачный возраст законами субъектов РФ, так и примерный перечень особых обстоятельств, при наличии которых может быть разрешено снижение брачного возраста. Решение данных вопросов также отнесено к ведению субъектов РФ. При решении такого вопроса в законах субъектов Федерации должно соблюдаться положение о том, что такие случаи носят характер исключения и сопровождаются наличием особых обстоятельств.