Ответы Mail
Образование
ВУЗы, Колледжи
Детские сады
Школы
Дополнительное образование
Образование за рубежом
Прочее образование
Лидеры категории
Лена-пена
М.И.
Y.Nine
•••
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Искусственный Интеллект
Натуральные числа. Делители и кратные натурального числа. Четные и нечетные числа. Признаки делимости на 2, 3, 5, 10 и
Ваня Арнаут
(115),
закрыт
14 лет назад
Делители и кратные натурального числа. Четные и нечетные числа. Признаки делимости на 2, 3, 5, 10 и 9. Простые и составные числа. Понятие о разложении натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.
Лучший ответ
Владислав Радионов
(1378)
14 лет назад
Наибольший общий делитель
Общий делитель. Наибольший общий делитель.
Общим делителем нескольких чисел называется число, которое является делите-лем каждого из них. Например, числа 36, 60, 42 имеют общие делители 2, 3 и 6. Среди всех общих делителей всегда есть наибольший, в данном случае это 6. Это и есть наибольший общий делитель (НОД) .
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел надо:
1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 ,
2) записать степени всех простых множителей:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 51,
3) выписать все общие делители (множители) этих чисел;
4) выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях;
5) перемножить эти степени.
П р и м е р . Найти НОД чисел: 168, 180 и 3024.
Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 31 · 71 ,
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 51 ,
3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24 · 33 · 71 .
Выпишем наименьшие степени общих делителей 2 и 3
и перемножим их:
НОД = 22 · 31 = 12 .
Наименьшее общее кратное
Общее кратное. Наименьшее общее кратное.
Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК) .
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел надо:
1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,
2) записать степени всех простых множителей:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 23 · 32 · 71,
3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;
4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;
5) перемножить эти степени.
П р и м е р . Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.
Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 31 · 71 ,
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 51 ,
3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24 · 33 · 71 .
Выписываем наибольшие степени всех простых делителей
и перемножаем их:
НОК = 24 · 33 · 51 · 71 = 15120 .
Общий делитель. Наибольший общий делитель.
Общим делителем нескольких чисел называется число, которое является делите-лем каждого из них. Например, числа 36, 60, 42 имеют общие делители 2, 3 и 6. Среди всех общих делителей всегда есть наибольший, в данном случае это 6. Это и есть наибольший общий делитель (НОД) .
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел надо:
1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 ,
2) записать степени всех простых множителей:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 51,
3) выписать все общие делители (множители) этих чисел;
4) выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях;
5) перемножить эти степени.
П р и м е р . Найти НОД чисел: 168, 180 и 3024.
Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 31 · 71 ,
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 51 ,
3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24 · 33 · 71 .
Выпишем наименьшие степени общих делителей 2 и 3
и перемножим их:
НОД = 22 · 31 = 12 .
Наименьшее общее кратное
Общее кратное. Наименьшее общее кратное.
Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК) .
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел надо:
1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,
2) записать степени всех простых множителей:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 23 · 32 · 71,
3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;
4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;
5) перемножить эти степени.
П р и м е р . Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.
Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 31 · 71 ,
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 51 ,
3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24 · 33 · 71 .
Выписываем наибольшие степени всех простых делителей
и перемножаем их:
НОК = 24 · 33 · 51 · 71 = 15120 .
Остальные ответы
АнтON БажанOFF
(8606)
14 лет назад
ну на 2 делятся только те числа, которые заканчиваются на чтную цифру, на 5 - только те которые заканчиваются на 5 или 0 (на 10 - только 0), на 3 - те, сумма цифр в которых делится на 3, на 9 по тому же принциау что и на тройку. простое число - это то которое делится на себя и на единицу, составное - то, у которого кроме себя самого и единицы есть еще делители
Ирина
(3673)
14 лет назад
Числа 1,2,3,4,5,6,7,8... называются натуральными или целыми положительными числами. Число "0" не является делителем, на "0" делить нельзя!! ! Чётные числа делятся на 2 без остатка, все остальные числа - нечётные.
Число делится на 2 только тогда, когда его последняя цифра делится на 2.
Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 4, или две его последние цифры - нули.
Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.
Число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Число делится на 10 тогда, когда его последняя цифра 0.
Число называется простым, когда оно делится только на 1 и само себя.
Число называется составным, когда оно делится не только на 1 и само себя, но ещё и на другие числа.
Число делится на 2 только тогда, когда его последняя цифра делится на 2.
Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 4, или две его последние цифры - нули.
Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.
Число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Число делится на 10 тогда, когда его последняя цифра 0.
Число называется простым, когда оно делится только на 1 и само себя.
Число называется составным, когда оно делится не только на 1 и само себя, но ещё и на другие числа.
Antonina
(474)
14 лет назад
Простые и составные числа
Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными числами. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные. Простых чисел – бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Основная теорема арифметики простых чисел. Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел (порядок сомножителей при этом не принимается во внимание).
Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными числами. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные. Простых чисел – бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Основная теорема арифметики простых чисел. Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел (порядок сомножителей при этом не принимается во внимание).
Vipvadim
(361)
8 лет назад
Наименьшее общее кратное (НОК) двух целых чисел m и n — это наименьшее натуральное число, которое делится на m и n. Обозначается НОК (m,n) или [m,n], а в английской литературе \mathrm{lcm}(m,n).
НОК для ненулевых чисел m и n всегда существует и связан с НОД следующим соотношением:
(m,n)\cdot[m,n]=m\cdot n
Это частный случай более общей теоремы: если a_1, a_2, \dots, a_n — ненулевые числа, D — какое-либо их общее кратное, то имеет место формула:
D = [a_1, a_2, \dots, a_n] \cdot \left(\frac{D}{a_1}, \frac{D}{a_2}, \dots , \frac{D}{a_n}\right)
Взаимно простые числа [править | править вики-текст]
Основная статья: Взаимно простые числа
Числа m и n называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме единицы. Для таких чисел НОД (m,n) = 1. Обратно, если НОД (m,n) = 1, то числа взаимно просты.
Аналогично, целые числа a_1, a_2, \dots a_k, где k\geq 2, называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.
Следует различать понятия взаимной простоты, когда НОД набора чисел равен 1, и попарной взаимной простоты, когда НОД равен 1 для каждой пары чисел из набора. Из попарной простоты вытекает взаимная простота, но не наоборот. Например, НОД (6,10,15) = 1, но любые пары из этого набора не взаимно просты.
Способы вычисления [править | править вики-текст]
Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм.
Кроме того, значение НОД (m,n) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел m и n на простые множители:
n=p_1^{d_1}\cdot\dots\cdot p_k^{d_k},
m=p_1^{e_1}\cdot \dots \cdot p_k^{e_k},
где p_1,\dots,p_k — различные простые числа, а d_1,\dots,d_k и e_1,\dots,e_k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД (m,n) и НОК (m,n) выражаются формулами:
(n,m)=p_1^{\min(d_1,e_1)}\cdot\dots\cdot p_k^{\min(d_k,e_k)},
[n,m]=p_1^{\max(d_1,e_1)}\cdot\dots\cdot p_k^{\max(d_k,e_k)}.
Если чисел более двух: a_1, a_2,\dots a_n, их НОД находится по следующему алгоритму:
d_2=(a_1, a_2)
d_3=(d_2, a_3)
………
d_n=(d_{n-1}, a_n) — это и есть искомый НОД.
Свойства [править | править вики-текст]
Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример: для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
Следствие 1: множество общих делителей m и n совпадает с множеством делителей НОД (m, n).
Следствие 2: множество общих кратных m и n совпадает с множеством кратных НОК (m, n).
Если m делится на n, то НОД (m, n) = n. В частности, НОД (n, n) = n.
(a\cdot m, a\cdot n) = |a|\cdot (m, n) — общий множитель можно выносить за знак НОД.
Если D=(m, n), то после деления на D числа становятся взаимно простыми, то есть, \left({\frac{m}{D},\frac{n}{D}}\right)=1. Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.
Мультипликативность: если a_1, a_2 взаимно просты, то:
(a_1 \cdot a_2, b) = (a_1, b) \cdot (a_2, b)
Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций:
\left\{ a\cdot m + b\cdot n\mid a,b\in\Z \right\}
и поэтому (m,n) представим в виде линейной комбинации чисел m и n:
(m,n) = u\cdot m + v\cdot n.
НОК для ненулевых чисел m и n всегда существует и связан с НОД следующим соотношением:
(m,n)\cdot[m,n]=m\cdot n
Это частный случай более общей теоремы: если a_1, a_2, \dots, a_n — ненулевые числа, D — какое-либо их общее кратное, то имеет место формула:
D = [a_1, a_2, \dots, a_n] \cdot \left(\frac{D}{a_1}, \frac{D}{a_2}, \dots , \frac{D}{a_n}\right)
Взаимно простые числа [править | править вики-текст]
Основная статья: Взаимно простые числа
Числа m и n называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, кроме единицы. Для таких чисел НОД (m,n) = 1. Обратно, если НОД (m,n) = 1, то числа взаимно просты.
Аналогично, целые числа a_1, a_2, \dots a_k, где k\geq 2, называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице.
Следует различать понятия взаимной простоты, когда НОД набора чисел равен 1, и попарной взаимной простоты, когда НОД равен 1 для каждой пары чисел из набора. Из попарной простоты вытекает взаимная простота, но не наоборот. Например, НОД (6,10,15) = 1, но любые пары из этого набора не взаимно просты.
Способы вычисления [править | править вики-текст]
Эффективными способами вычисления НОД двух чисел являются алгоритм Евклида и бинарный алгоритм.
Кроме того, значение НОД (m,n) можно легко вычислить, если известно каноническое разложение чисел m и n на простые множители:
n=p_1^{d_1}\cdot\dots\cdot p_k^{d_k},
m=p_1^{e_1}\cdot \dots \cdot p_k^{e_k},
где p_1,\dots,p_k — различные простые числа, а d_1,\dots,d_k и e_1,\dots,e_k — неотрицательные целые числа (они могут быть нулями, если соответствующее простое отсутствует в разложении). Тогда НОД (m,n) и НОК (m,n) выражаются формулами:
(n,m)=p_1^{\min(d_1,e_1)}\cdot\dots\cdot p_k^{\min(d_k,e_k)},
[n,m]=p_1^{\max(d_1,e_1)}\cdot\dots\cdot p_k^{\max(d_k,e_k)}.
Если чисел более двух: a_1, a_2,\dots a_n, их НОД находится по следующему алгоритму:
d_2=(a_1, a_2)
d_3=(d_2, a_3)
………
d_n=(d_{n-1}, a_n) — это и есть искомый НОД.
Свойства [править | править вики-текст]
Основное свойство: наибольший общий делитель m и n делится на любой общий делитель этих чисел. Пример: для чисел 12 и 18 наибольший общий делитель равен 6; он делится на все общие делители этих чисел: 1, 2, 3, 6.
Следствие 1: множество общих делителей m и n совпадает с множеством делителей НОД (m, n).
Следствие 2: множество общих кратных m и n совпадает с множеством кратных НОК (m, n).
Если m делится на n, то НОД (m, n) = n. В частности, НОД (n, n) = n.
(a\cdot m, a\cdot n) = |a|\cdot (m, n) — общий множитель можно выносить за знак НОД.
Если D=(m, n), то после деления на D числа становятся взаимно простыми, то есть, \left({\frac{m}{D},\frac{n}{D}}\right)=1. Это означает, в частности, что для приведения дроби к несократимому виду надо разделить её числитель и знаменатель на их НОД.
Мультипликативность: если a_1, a_2 взаимно просты, то:
(a_1 \cdot a_2, b) = (a_1, b) \cdot (a_2, b)
Наибольший общий делитель чисел m и n может быть определён как наименьший положительный элемент множества всех их линейных комбинаций:
\left\{ a\cdot m + b\cdot n\mid a,b\in\Z \right\}
и поэтому (m,n) представим в виде линейной комбинации чисел m и n:
(m,n) = u\cdot m + v\cdot n.
Похожие вопросы