Натуральные числа. Делители и кратные натурального числа. Четные и нечетные числа. Признаки делимости на 2, 3, 5, 10 и
Делители и кратные натурального числа. Четные и нечетные числа. Признаки делимости на 2, 3, 5, 10 и 9. Простые и составные числа. Понятие о разложении натурального числа на простые множители. Наибольший общий делитель. Наименьшее общее кратное.
Наибольший общий делитель
Общий делитель. Наибольший общий делитель.
Общим делителем нескольких чисел называется число, которое является делите-лем каждого из них. Например, числа 36, 60, 42 имеют общие делители 2, 3 и 6. Среди всех общих делителей всегда есть наибольший, в данном случае это 6. Это и есть наибольший общий делитель (НОД) .
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел надо:
1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 ,
2) записать степени всех простых множителей:
360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 23 · 32 · 51,
3) выписать все общие делители (множители) этих чисел;
4) выбрать наименьшую степень каждого из них, встретившуюся во всех произведениях;
5) перемножить эти степени.
П р и м е р . Найти НОД чисел: 168, 180 и 3024.
Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 31 · 71 ,
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 51 ,
3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24 · 33 · 71 .
Выпишем наименьшие степени общих делителей 2 и 3
и перемножим их:
НОД = 22 · 31 = 12 .
Наименьшее общее кратное
Общее кратное. Наименьшее общее кратное.
Общим кратным нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел. Например, числа 9, 18 и 45 имеют общее кратное 180. Но 90 и 360 – тоже их общие кратные. Среди всех общих кратных всегда есть наименьшее, в данном случае это 90. Это число называется наименьшим общим кратным (НОК) .
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел надо:
1) представить каждое число как произведение его простых множителей, например:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,
2) записать степени всех простых множителей:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 23 · 32 · 71,
3) выписать все простые делители (множители) каждого из этих чисел;
4) выбрать наибольшую степень каждого из них, встретившуюся во всех разложениях этих чисел;
5) перемножить эти степени.
П р и м е р . Найти НОК чисел: 168, 180 и 3024.
Р е ш е н и е . 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 23 · 31 · 71 ,
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 22 · 32 · 51 ,
3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 24 · 33 · 71 .
Выписываем наибольшие степени всех простых делителей
и перемножаем их:
НОК = 24 · 33 · 51 · 71 = 15120 .
Числа 1,2,3,4,5,6,7,8... называются натуральными или целыми положительными числами. Число "0" не является делителем, на "0" делить нельзя!! ! Чётные числа делятся на 2 без остатка, все остальные числа - нечётные.
Число делится на 2 только тогда, когда его последняя цифра делится на 2.
Число делится на 3 тогда, когда сумма его цифр делится на 3.
Число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры образуют число, делящееся на 4, или две его последние цифры - нули.
Число делится на 5 тогда, когда его последняя цифра 0 или 5.
Число делится на 9 тогда, когда сумма его цифр делится на 9.
Число делится на 10 тогда, когда его последняя цифра 0.
Число называется простым, когда оно делится только на 1 и само себя.
Число называется составным, когда оно делится не только на 1 и само себя, но ещё и на другие числа.
ну на 2 делятся только те числа, которые заканчиваются на чтную цифру, на 5 - только те которые заканчиваются на 5 или 0 (на 10 - только 0), на 3 - те, сумма цифр в которых делится на 3, на 9 по тому же принциау что и на тройку. простое число - это то которое делится на себя и на единицу, составное - то, у которого кроме себя самого и единицы есть еще делители
Простые и составные числа
Все целые числа (кроме 0 и 1) имеют минимум два делителя: 1 и самого себя. Числа, не имеющие других делителей, называются простыми числами. Числа, имеющие другие делители, называются составными числами. Таким образом, все натуральные числа, за исключением единицы, разбиваются на простые и составные. Простых чисел – бесконечное множество. Ниже приведены простые числа, не превосходящие 200:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43,
47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101,
103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199.
Основная теорема арифметики простых чисел. Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел (порядок сомножителей при этом не принимается во внимание).
спс