Какая разница между давлением и напряжением в механике?

В первую очередь они отличаются по физическому смыслу.
Давление - скалярная физическая величина, характеризующая состояние сплошной среды и численно равная силе, действующей на единицу площади поверхности перпендикулярно этой поверхности. Сама среда без всяких деформаций давит на внешнее тело.

Механическое напряжение - величина тензорная, это мера внутренних сил, возникающих в деформируемом теле под влиянием внешних воздействий.
Напряжение в точке тела измеряется отношением силы, возникающей в теле при деформации, к площади малого элемента сечения.

Сила давления действует перпендикулярно площадке, сила напряжения имеет ненулевые компоненты во всех направлениях. Как-то так.