что обозначает фразеологизм быть на короткой ноге ?

На самом деле дефект конечностей никакого отношения к нашей фразе не имеет. «Быть на короткой ноге» скопировано с французского etre sur un bon pied – буквально «быть на хорошей ноге» . Заметьте, на хорошей, а не короткой. Иногда в русском языке говорят иначе: «на дружеской ноге» , это отсюда же. Вы, может быть, думаете, что я только переписываю; нет, начальник отделения со мной на дружеской ноге. Этак ударит по плечу: «Приходи, братец, обедать! » (Н. Гоголь) .

Из «хорошей» в «короткую» нога превратилась благодаря переносному значению последнего прилагательного. Короткий – значит «близкий, доверительный» , накоротке – «в близких, дружеских отношениях» .