Задача на оптимизацию: трапеция АВСД вписана в окружность радиусом R , АВ является диаметром окружности.

1) Трапецию в окружность можно вписать только равнобедренную.
2) Проведем высоту трапеции через середины оснований и продолжим до пересечения с окружностью.
Имеем две хорды. Первая - меньшая сторна трапеции бъется на две равные части. Пусть ее длина будет 2х.
Вторая - диаметр, бъется на части R+h(x) и R-h(x)
По известной теореме x*x=(R+h(x))(R-h(x))
h^2(x)=R^2-x^2
h(x)=V(R^2-x^2)
Площадь трапеции: S(x)=(2R+2x)*h(x)/2=(R+x)h(x)=(R+x)V(R^2-x^2)
Ищем производную
S'(x)=V(R^2-x^2)-(R+x)*x/V(R^2-x^2)=(R^2-x^2-Rx-x^2)/V(R^2-x^2)
Ищем, где производная равна 0
2x^2+Rx-R^2=0
D=R^2+8R^2
x=(-R(+,-)3R)/4
x1=-R - не имеет смысла
x2=R/2
Т. е. при длине меньшей стороны равной радиусу получим максисмльную площадь трапеции.
Smax=(R+R/2)*RV3/2=3R^2V3/4
=================================
"V" - значок квадратного корня