Зачем функции раскладывают в ряды?

Ряды там не абы какие, а из удобных функций.
Например, свойства степенных функций, или там свойства гармонических функций - просты и понятны. Значит, если СЛОЖНУЮ функцию представить как суперпозицию ПРОСТЫХ (то есть разложить в ряд) , - то поведение сложной функции можно будет предсказать по анализу поведения простых. Поэтому и раскладывают всякие экспоненты и косинусы в ряды по степенным - так удобнее ВЫЧИСЛЯТЬ. Поэтому и раскладывают сложные сигналы в ряды Фурье - так удобнее анализировать характеристики электрических цепей.

Буду лаконичен. Для оптимизации аппроксимации.

Ну-ка, нянька, подь сюды!
Принимайся за труды -
Рви из темечка волосья
Те, которые седы.
А какие не седы -
Те расчёсывай в ряды.. .

Ряды широко применяются для приближённых вычислений.
Например, есть "неберущиеся интегралы", которые не выражаются через элементарные функции, но при этом входят в расчётные формулы (та же статистика или оптика) .
Как их считать?
А очень просто - раскладываем в ряд Тейлора - любой степенной многочлен интегрируется элементарно. Увеличиваем степень и баста.
Бесконечное число членов на фиг никому не нужно, достаточно задаться требуемой точностью и оборвать вычисления на каком-то k-м.
Ряды Фурье - используются в электротехнике, радиотехнике, потому что любое сколь угодно сложное электромагнитное колебание всегда можно разложить на сумму гармонических синусов или косинусов.

Помню, какой-то из преподавателей на лекции рассказывал, что надо было выдерживать точность до 32-й гармоники (вроде, в циклотроне).