К какой части речи относятся слова: не переставая и не надеясь? И их морфологический разбор

Вообще-то эти слова могут быть и деепричастиями, и наречиями.
Поясняя глагол, деепричастие нередко переходит в наречие:
В ущелье лёжа, Уж долго думал о смерти птицы, о страсти к небу (М. Горький)
Лёжа хлеба не добудешь (пословица) .
В первом предложении лёжа — это деепричастие: у него есть зависимое слово со значением места (лежа — где? — в ущелье) , его можно заменить глаголом: думал, когда лежал.
Во втором предложении лёжа — наречие: его нельзя заменить глаголом, оно выражает обстоятельственное значение: не добудешь — при каком условии? — лёжа, без усилий.
Отличия деепричастий и наречий

А морфологический разбор (не по составу, а разбор слова как части речи) этих слов можно сделать только в контексте всего предложения или словосочетания, после того, как определили, какой же частью речи эти слова являются.

Морфлогический разбор деепричастия
Морфлогический разбор наречия

Не переставая и не надеясь относятся к деепричастиям. Они образованы от соотвествующих глаголов (пересавать и надеяться) . Морфологический разбор:

переставая = пере (приставка: пере-шел, пере-ехал) + став (корень: от-став-ать, от-став-ка) + а + я (суффиксы: дел-а-я, комк-а-я)