Я хочу работать программистом в банке! Именно в банке. Что стоит изучить? Какие языки и технологии?

В банках как таковых программистов обычно нет.
Там обычно есть Ит-отдел, который занимается разработкой и поддержкой программного обеспечения.
В банках используются информационные системы с огромными базами данных.
Обычно это готовые решения от производителей ПО. В банках используются ERP системы различного типа, которые отвечают за конкретный бизнес процесс. ERP системы различается по производителю:
Microsoft: Axapta, Navision, CRM и т. д.
SAP в различных конфигурациях
ERP системы от Oracle.

В крупных банках есть свои разработки ERP систем. Их заказывают определенным компаниям, которые специализируются на разработке банковского ПО. Из технологий, поскольку это очень большие объемы данных обычно используются ASP .NET в связке с SQL Server, J2EE в связке с Oracle.
PHP и MySQL - это скорее для web-проектов, хотя на этих технологиях разрабатываются высоконагруженные системы. Но в банках они скорее не используются.

В основном работа в банке - это поддержка серверов, руководство процессами внедрения ПО и его поддержка, настройка необходимых конфигураций готовых ERP-систем и поддержка пользователей системы.