геометрия. как найти катеты в прямоугольном треугольнике зная гипотенузу и высоту проведенную к ней

Найти площадь S.
{a*b=2S
{a^2+b^2=c^2
решите систему

Площадь треугольника равна: S=0.5*a*b=0.5*h*c.
Следовательно, a*b=h*c
Теорема Пифагора: a^2+b^2=c^2
Ну тут подставив значение высоты h и гипотенизы c получиш катеты a и b.

Я предлогаю более краткое решение (без теоремы Пифагора и без системы уравнений) .
Пусть СТ высота прямоугольного треугольника АВС, проведённая к гипотенузе АВ. Тогда имеют место следующие равенства: 1) СТ^ = АТ*ВТ ( ^ -----квадрат, * ------знак умножения )
2) АС^ = АТ*АВ
3) ВС^ = ВТ*ВА
Словами: 1) Квадрат высоты равен произведению проекций катетов (на гипотенузу) ;
2) и 3) Квадрат катета равен произведению его проекции и гипотенузы.
Это известные и очень полезные теоремы. Доказываются с помощью подобия треугольников.
Александр, а теперь решим твою задачу. Для наглядности, решим её с числовыми данными: пусть гипотенуза АВ=25, а высота СТ=12.
Обозначим АТ через х, тогда ВТ=25-х. Воспользуемся (1) формулой: 144=х (25-х) . Решив это квадратное уравнение, получим: х1=9, х2=16.
а) Пусть АТ=9,тогдо, по (2)-ой формуле АС^ = 9*25, откуда АС=15, ВС^=16*25, ВС=20
б) Если АТ=16, то получим АС=20,ВС=15
Думаю, что тебе всё понятно. Если есть вопросы, то напиши мне.