Почему стол на трёх ногах никогда не шатается, а на четырёх - шатается часто?

потому что в геометрии 3 точки создают треугольник-самую устойчивую фигуру

Потому что трехноги стол центрально симметричен.

Плоскость проводится через 3 точки, не лежащие на одной линии. Если точки четыре - не факт, что все 4 лежат в одной плоскости. Посему одна из точек (ножек) может отстоять от плоскости, образованной тремя другими (если стол в России собирали - точно отстоит :)). Если отстоит - то стол шатается.
Кстати, это не стереометрия?

Три точки общего положения всегда определяют плоскость, причём, единственным образом, а четыре точки не всегда лежат в одной плоскости. Кстати стул на трёх ножках не будет качаться не только на полу, а на любой поверхности!
И ещё, треугольник не самая устойчивая фигура, а жёсткая!

У четырёхного стола есть четыре возможных вектора отклонения от центра тяжести. У трёхногого стола их только три, тем более, что давление на одну сторону приводит к давлению на противолежащий ей угол, а значит оно подавляется. То же самое и при давлении на угол, противолежащий стороне, тот тоже подавляет давление. У четырёхногого стола давление на одну сторону отражается на другой, поэтому он неустойчивее.