как найти основание треугольника?

Провести высоту к основанию, она же будет биссектрисой и медианой. Ну а потом у Вас имеется прямоугольный треугольник: известна гипотенуза (4см) , угол прилежащего катета 40градусов - этот прилежащий катет равен половине искомого основания. находим его из уравнения косинуса угла 40градусов.

воспользоваться теоремой косинусов

по-моему проще теоремой синусов:
4/sin 40 = x/sin 100 => x = (sin 100)/(sin 40) *4

Как найти основание равнобедренного треугольника если боковые стороны равны 4см. а углы 40,40и 100градусов?
Поскольку треугольник равнобедренный, то бисектриса будет высотой и медианой. Тогда рассмотрим маленький трегольник в котором углы 50, 40, 90
Синус угла -это отношение противолежашего катета к гипотенузе
Тогда Синус 50=(х/2)/4 х/2- это потому что медиана делит пополам
Дальше по таблице синусов смотрим син. 50=0,766=х/8 х=8*0,766=6.128 приблизительно 6,1