Алгебраические дополнения

Алгебраическим дополнением элемента aij матрицы A называется число

Aij = ( − 1)i + jMij, где Mij — дополнительный минор, определитель матрицы, получающейся из A вычёркиванием i -й строки и j -го столбца.
[править] Свойства

Название «алгебраическое дополнение» связано с формулами разложения определителя матрицы по строке (по столбцу) :

det A=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij}=\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij}

Лемма о фальшивом разложении определителя утверждает, что

\sum_{j=1}^n a_{i_1 j}A_{i_2 j}=\sum_{i=1}^n a_{i j_1}A_{i j_2}=0 при i_1\neq i_2 и j_1\neq j_2.

Из этих утверждений следует правильность алгоритма нахождения обратной матрицы:

* заменить каждый элемент на его алгебраическое дополнение,
* транспонировать матрицу (в результате будет получена союзная матрица) ,
* разделить каждый элемент на определитель исходной матрицы.