снег и снегири - это однокоренные слова?

Хотя этимологически эти слова связаны между собой,

СНЕГИРЬ. Искон. Суф. производное (суф. -ырь) от снѣгъ. Снѣгырь после изменения кы, гы, хы в ки, ги, хи > снѣгирь, а затем в результате ассимиляции ѣ последующему и > снигирь. Птица названа так потому, что прилетает к нам с севера вместе с первым снегом и заморозками.
Этимологический словарь, 2004 г. ,

В СОВРЕМЕННОМ РУССКОМ ЯЗЫКЕ ЭТИ СЛОВА НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ОДНОКОРЕННЫМИ.

В школьном словообразовательном словаре русского языка под ред. Тихонова эти слова формируют свои собственные, отдельные друг от друга словообразовательные цепочки. От слова снег образуются слова: СНЕжный, бесСНЕЖный, подСНЕЖник, СНЕГопад, СНЕГоочиститель.

От слова СНЕГИРЬ образуются слова: СНЕГИРёк, СНЕГИРёнок.

В морфемном словаре русского языка в слове снег вычленяется корень СНЕГ. а в слове снегирь - корень СНЕГИР (Ь).