Кто-нибудь сможет простым языком объяснить теорему Геделя о неполноте арифметики?

Для простых систем исчислений высказываний доказательство их непротиворечивости вполне возможно. Но в случае арифметики и теории множеств - двух образцовых математических теорий - ситуация оказывается довольно необычной и непредвидимой с позиций здравого смысла. Речь идет о двух знаменитых теоремах австрийца К. Гёделя. Согласно теореме о неполноте, в достаточно богатых формальных непротиворечивых системах, содержащих арифметику (или, например, теорию множеств) , всегда находятся неразрешимые формулы, которые одновременно и недоказуемы, и неопровержимы. Согласно теореме о непротиворечивости, если формализованная арифметика действительно непротиворечива, то это недоказуемо ее средствами. Итак, формальная аксиоматическая, достаточно богатая содержанием непротиворечивая система неполна, а ее непротиворечивость недоказуема. Теоремы К. Гёделя выявили необоснованность ряда притязаний, содержащихся в формализме Д. Гильберта (так, видимо, невозможно доказать непротиворечивость достаточно богатых формальных аксиоматических систем) . Аксиоматический метод надо использовать таким, каковым он является. Ему нет замены. Формализм как абсолютный метод обоснования математики оказался столь же несостоятельным, как и логицизм. Что касается самого метода формализации, то его достоинства в теоремах К. Гёделя не обсуждаются. Этот метод широко и с успехом используется и в логике, и в математике.
Иначе обстоит дело с «математическими истинами» , даже с истинами самой простой из математических теорий - арифметики натуральных чисел (теории о натуральных числах 0, 1,2, ..их сложении, умножении и т. п. операциях) . Так, теорема К. Гёделя о неполноте формализованной арифметики натуральных чисел утверждает, что никакой конечной системой аксиом формальной арифметики нельзя выразить все истинные предложения содержательной арифметики натуральных чисел, т. е. в этом смысле никогда нельзя выразить «арифметических истин» полностью. Иначе говоря, формальная арифметика семантически неполна, не способна через форму логических предложений выразить все арифметические истины (истины аналитические фактуальные) . При этом требования логики не следует возводить в ранг абсолюта, так как в рамках идеи построения логических и математических объектов существует развивающееся конструктивистское направление. Данное направление в математике возникло в форме интуиционизма и в историческом плане многократно модифицировалось. Для исключения логико-математических противоречий конструктивистский метод оказался эффективным средством. Так, в частности, не одним, а несколькими способами удалось доказать непротиворечивость формальной арифметики. Эти доказательства существенно ослабляют значение теорем К. Гёделя. Согласно его второй теореме непротиворечивость арифметики недоказуема. Она действительно недоказуема при тех методах, которые использовал К. Гёдель. Но она доказуема при других методах, в частности, в рамках конструктивизма. При этом как те, так и другие методы, не без успеха используются в математике и логике. Поэтому требования, которые предъявляются, допустим, к математике одним из ее направлений – логицизмом, формализмом, конструктивизмом, неправомерно возводить в ранг абсолюта.

Из сказанного можно сделать вывод, что истины логические и истины математические принципиально различны относительно формализации (и аксиоматизации) логики и математики. Логические истины выразимы конечной системой аксиом, а математические - невыразимы. На этой базе можно сделать вывод о качественном различии аналитической истинности: истины аналитические логические качественно отличаются от истин аналитических фактуальных, в том числе и математических. Правда, теоремы К. Гёделя лишь косвенно свидетельствуют об этом различии по способности теорий быть, конечно, аксиоматизируемыми. Однако уже этот семантический подход в логике и математике дает возможность утверждать, что по основанию истинности логика и математика принципиально различны и ни одна из н

Арифметика есть формально-описательная система. Тогда:

"Невозможно создать целостную формально-описательную систему, не прибегая к понятиям, заимствуемым как аксиомы из мира за пределами этой системы." Т.е. нет самодостаточной "теории всего".

Насколько я понял, смысл её таков: существуют такие, достаточно объёмные, математические теории, для которых можно выдвинуть утверждение, которое в рамках этих теорий нельзя ни доказать, ни опровергнуть.

По отношению к арифметике эта теорема играет такую роль: вполне возможно, что арифметика, как раз, и является такой теорией. Но этот факт не доказан.

Если бы арифметика была бы такой теорией, то могло бы быть так, что теорема Ферма недоказуема. То есть, можно было бы с равной уверенностью утверждать, что такие числа как есть, так их и нет. Но это не так, теорема Ферма доказана.

Всё правильно, если есть такая теория, и есть есть такое утверждение, то его можно доказать с позиций теорий более высокого уровня.

Но для арифметики такую теорию назвать нельзя (не знают, как) . Арифметика (наверное) не относится к тому классу теорий, которые выведены в т. Геделя. т. Геделя показывает, что это в принципе возможно (на некоем примере) , но она не даёт универсально способа проверить, так ли это для любой теории, например, для арифметики.

P.S. А вообще-то, я быд не совсем прав, к арифметике это относится: т. Геделя

В любой науке, теории и т. д. существует некотрый набор утверждений (аксиом) , которые мы должны принять на веру, руководствуясь здравым смыслом