Как решить lim ((1+x)^(1/x)-e)/x при x->0?

Сначала запишем так: y=(e^(1/x*ln(1+x))-e)/x.
Теперь применим правило Лопиталя:

lim y=lim (e^(1/x*ln(1+x))-e)'/1=lim(1+x)^(1/x)*(1/(x(1+x))-1/x^2*ln(1+x))=

= e* lim (x-(x+1)ln(x+1))/(x^2*(1+x))=e* lim (x-(x+1)ln(x+1))/x^2;

Ещё раз Лопиталь:

lim =e* lim (1-ln(x+1)-1)/(2x)=-e/2.