Что такое пи в математике? как решать пи

pi~ (произносится «пи» ) — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине её диаметра. [2] Обозначается буквой греческого алфавита «пи» .

Трансцендентность и иррациональность

* π — иррациональное число, то есть его значение не может быть точно выражено в виде дроби m/n, где m и n — целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Иррациональность числа π была впервые доказана Иоганном Ламбертом в 1761[3] году путём разложения числа \frac{e-1}{2^n} в непрерывную дробь. В 1794 году Лежандр привёл более строгое доказательство иррациональности чисел π и π2.
* π — трансцендентное число, это означает, что оно не может быть корнем какого-либо многочлена с целыми коэффициентами. Транцендентность числа π была доказана в 1882 году профессором Кёнигсбергского, а позже Мюнхенского университета Линдеманом. Доказательство упростил Феликс Клейн в 1894 году. [4]
o Поскольку в евклидовой геометрии площадь круга и длина окружности являются функциями числа π, то доказательство трансцендентности π положило конец спору о квадратуре круга, длившемуся более 2,5 тысяч лет.
* В 1934 году Гельфонд доказал трансцендентность числа eπ.[5] В 1996 году Нестеренко (англ. ) доказал, что для любого натурального n числа π и e^{\pi\sqrt n} алгебраически независимы, откуда, в частности, следует транцсендентность чисел π + eπ,πeπ и e^{\pi\sqrt n}.[6][7]

Соотношения

Известно много формул числа π:

* Франсуа Виет:

\frac2\pi= \frac{\sqrt{2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots

* Формула Валлиса:

\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}

* Ряд Лейбница, первым найден Мадхавой из Сангамаграма в 1400[источник не указан 84 дня] :

\frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}

* Тождество Эйлера:

e^{i \pi} + 1 = 0\;

* Т. н. «интеграл Пуассона» или «интеграл Гаусса»

\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ e^{-x^2}{dx} = \sqrt{\pi}

* Интегральный синус:

\int\limits_{-\infty }^{+\infty }{\frac{\sin x}{x}dx}=\pi

* Выражение через полилогарифм (англ.): [8]

\pi=\sqrt{6\ln^2 2+12\ \operatorname{Li}_2\left(\frac{1}{2}\right)}