Как правильно: НЕ К МЕСТУ или НИ К МЕСТУ? Приведите доказательства.

Не к месту. Какие доказательства? Это чистое отрицание, а не усиление. Например, "Ваше мнение тут не к месту" - смысл "Ваше мнение тут неуместно". Можно придумать, конечно, предложение, где нужно писать "ни". Например, "Эта одежда не подходит ни к месту, ни ко времени" - но это очень вычурно - здесь это усиление - частицу "ни" можно заменить на союз "и" - "Эта одежда не подходит И к месту, И ко времени". Так что зависит от контекста, а если Вы контекст не различаете, то употребляется почти всегда "не". И если можно заменить на "неуместно" - то "не". Нельзя сказать " Эта одежда не подходит неуместно (ни к месту, ни ко времени) ". А вот "Эта одежда неуместна (не к месту) " можно. И нужно.