Объясните, что такое определитель матрицы и где(когда) применяется?

блин, ну как же у нас учат.. . Мне кажется, что первым делом надо как раз объяснять смысл, а потом у же - методы вычисления и теоремы.

Определитель - очень простая вещь.

если у нас матрица 1*1 - это просто само число. Его можно считать одномерным вектором, а определитель - его длиной (с учетом знака) .

если у нас матрица 2*2 - ее можно представить как два вектора-колонки матрицы. Определитель - площадь параллелограмма, построенного на этих векторах (опять -таки - со знаком) . Поскольку при транспонировании определитель не меняется, можете считать. что эти вектора - не колонки, а строки.

если у нас матрица 3*3 - ее можно представить как три вектора-колонки матрицы. Определитель - объем параллелепипеда, построенного на этих векторах (опять -таки - со знаком) .

И так далее - на любую размерность.

Опять-таки, нулевой определитель означает, что объем нулевой, а значит эта фигура/тело - вырожденное, например - в 3д оно все лежит в одной плоскости. А это значит, что какой-то вектор-столбец можно выразить через оставшиеся, то есть - линейную зависимость.