Имеет ли права ГАИ выписать протокол если при движении из одного города в другой был утерян задний гос номер?

Да, конечно.
Передвижение при отсутствии одного ГРЗ - административное правонарушение.
http://wwwboards.auto.ru/gai/583448.html

ОБЗОР
ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА И СУДЕБНОЙ ПРАКТИКИ
ВЕРХОВНОГО СУДА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ЗА ПЕРВЫЙ КВАРТАЛ 2006 ГОДА

Вопрос 9: Состав какого административного правонарушения образует управление транспортным средством при отсутствии одного из двух регистрационных (номерных) знаков, предусмотренный ч. 1 или ч. 2 ст. 12.2 КоАП РФ?
Ответ: Частью 1 ст. 12.2 КоАП РФ установлена административная ответственность за управление зарегистрированным транспортным средством с нечитаемыми, нестандартными или установленными с нарушением требований государственного стандарта государственными регистрационными знаками, а именно предупреждение или наложение административного штрафа в размере одной второй минимального размера оплаты труда.
Частью 2 этой же статьи предусмотрена ответственность за управление транспортным средством без государственных регистрационных знаков и влечет наложение административного штрафа в размере двадцати пяти минимальных размеров оплаты труда или лишение права управления транспортными средствами на срок от одного до трех месяцев.
Согласно п. 2 Основных положений по допуску транспортных средств к эксплуатации и обязанностям должностных лиц по обеспечению безопасности дорожного движения, утвержденных Постановлением Совета Министров - Правительства Российской Федерации от 23 октября 1993 г. N 1090, на механических транспортных средствах (кроме трамваев и троллейбусов) и прицепах должны быть установлены на предусмотренных для этого местах регистрационные знаки соответствующего образца.
В соответствии с п. И. 1 Приложения И к ГОСТ Р 50577-93 "Знаки государственные регистрационные транспортных средств. Типы и основные размеры. Технические требования" (утвержденного постановлением Госстандарта Российской Федерации 19 ноября 2001 г. N 465-ст) на легковых, грузовых, грузопассажирских автомобилях и автобусах должны быть предусмотрены места для установки одного переднего и одного заднего регистрационных знаков.
Следовательно, согласно требованиям государственного стандарта на транспортном средстве должны быть установлены два государственных регистрационных знака в предусмотренных для этого местах.
Часть 2 ст. 12.2 КоАП РФ предусматривает ответственность за управление транспортным средством без государственных регистрационных знаков, то есть без двух (переднего и заднего) номерных знаков. Отсутствие же одного номерного знака не образует состава административного правонарушения по ч. 2 указанной выше статьи. Управление транспортным средством с одним регистрационным знаком затрудняет только идентификацию такого автомобиля.
Исходя из изложенного выше управление хотя и зарегистрированным транспортным средством, но с одним регистрационным знаком является нарушением требования государственного стандарта, регулирующего вопрос установки государственных регистрационных знаков. С учетом того, что один из регистрационных знаков доступен для обозрения, такое правонарушение следует квалифицировать по ч. 1 ст. 12.2 КоАП РФ.

== А вот если возбудили дело по ст. 12.2.2 (посмотрите в протоколе) , коия влечет гораздо более суровое наказание (2500 р. штрафа или фитнес от 1 до 3 месяцев, то следует подать хоадатайство о перекквалификации нарушения, руководствуясь разъяснениями ВС РФ.