Вычисление среднеквадратичной скорости через интеграл, подскажите пожалуйста!

Путь этот долгий и тернистый.

1. Функция распределения молекул по скоростям:
f(v) = [4/√П] *[(m/2*k*T)^3/2]*exp(m*v²/2*k*T)*v². (1)

2. Так как средняя квадратичная скорость равна
<vкв. > = ∫(<v²>), (интеграл от 0 до ∞)
а среднее значение величины в общем виде можно подать следующим путем:
<x> = ∫(x*f(x)*dx), (интеграл от 0 до ∞)
где f(x) - функция распределения величины x, нормированная на единицу,
то среднеквадратичное значение скорости будет равно:
<v²> = ∫(v²*f(v)*dv). (интеграл от 0 до ∞) (2)

3. Подставляя (1) в (2) и вынеся константы за знак интеграла, можно получить:
<v²> = [4/√П] *[(m/2*k*T)^3/2]*∫(exp(-m*v²/2*k*T)*v²*v²*dv) = [4/√П] *[(m/2*k*T)^3/2]*∫(exp(-m*v²/2*k*T)*[v^4]*dv). (3)
Используя табличный интеграл,
∫([x^4]*exp[-a*x²]*dx) = [3/8]*√(П) *[a^-5/2],
можно свести (3) к виду:
<v²> = [4/√П] *[(m/2*k*T)^3/2]*[3/8]*√(П) *[(m/2*k*T)^-5/2] = [3/2]*(m/2*k*T)^-1 = 3*k*T/m.