Как разложить на множители x^5+y^5 так, чтобы участвовали только (x+y) и (xy)?

Question

Как разложить на множители x^5+y^5 так, чтобы участвовали только (x+y) и (xy)?

Гомер Симпсон Мастер (1914), закрыт 14 лет назад

Answer 1

Вспомним две формулы разложения
(x + y)^5 = x^5 + 5x^4*y +10x^3*y^2 +10x^2*y^3 + 5x*y^4 + y^5
(x + y)^3 = x^3 + 3x^2*y + 3x*y^2 + y^3
Теперь раскладываем сумму
x^5 + y^5 = (x + y)^5 - (5x^4*y +10x^3*y^2 +10x^2*y^3 + 5x*y^4) = (x + y)^5 - 5xy(x^3 + 2x^2*y + 2x*y^2 + y^3) =
= (x + y)^5 - 5xy(x^3 + 3x^2*y - x^2*y + 3x*y^2 - x*y^2 + y^3) = (x + y)^5 - 5xy((x + y)^3 - xy(x + y))
Вот как!

Answer 2

Первую скобку можно будет разложить только в комплексном виде
Загугли формулу Муавра, если хочешь узнать, как вычисляется корень 5 степени из числа на комплексной плоскости.

Answer 3

Обозначим: u=x+y, v=xy. Тогда:

u^2=x^2+y^2+2xy=x^2+y^2+2v, отсюда x^2+y^2=u^2-2v.

Далее, (u^2-2v)^2=x^4+y^4+2x^2y^2=x^4+y^4+2v^2,

Отсюда x^4+y^4=(u^2-2v)^2-2v^2=u^4-4vu^2+2v^2,

Теперь: А=x^5+y^5=u(x^4-x^3y+x^2y^2-xy^3+y^4)=

=u(x^4+y^4+v^2-v(x^2+y^2))=u(u^4-4vu^2+2v^2+v^2-v(u^2-2v))=

=u(u^4-5vu^2+5v^2). Мржно разложить дальше, для этого
вынесем множитель:

А=uv^2*(u^4/v^2-5u^2/v+5) и обозначим t=u^2/v, тогда скобка
разложится так:

(t^2-5t+5)=(t-t1)(t-t2), t1=(5+koren(5))/2, t2=(5-koren(5))/2.

То, что получилось, можно слегка упростить.