Что такое целое число

Это число, дробная часть которого равна нулю.

без знаков после запятой (без долей)

Целое, оно всегда без дробной части!
Множество целых чисел определяется как замыкание множества натуральных чисел относительно арифметических операций сложения (+) и вычитания (-). Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Оно состоит из положительных натуральных чисел (1, 2, 3), чисел вида -n (n) и числа нуль.
Необходимость рассмотрения целых чисел продиктована невозможностью (в общем случае) вычесть из одного натурального числа другое. Целые числа являются кольцом относительно операций сложения и умножения.
Отрицательные числа ввели в математический обиход Михаэль Штифель (M. Stiffel, 1487—1567), в книге «Полная арифметика» 1544 года, и Никола Шюке (N. Chuquet, 1445—1500) — его работа была обнаружена в 1848 году.

Определение. Рассмотрим множество упорядоченных пар натуральных чисел . Введём на этом множестве бинарное отношение :
Непосредственное проверяется, что определёное таким образом отношение является отношением эквивалетности. Назовём фактор-множество множеством целых чисел, а индивидуальные классы эквивалентности целыми числами.
Арифметические операции и порядок ПравитьПользуясь имеющимися операциями сложения и умножения на множестве натуральных чисел, введём соответствующие операции на построенном множестве целых чисел:
Определённые выше операции корректны, то есть не зависят от выбора представителей соответствующий классов эквивалентности. Сходным образом возможно использовать стандартный порядок на натуральных числах для определения частичного порядка на целых числах:
Такой порядок является корректным и полным. Из архимедовости натуральных чисел следует, что множество целых чисел не обладает ни наибольшим, ни наименьшим элементом.
В частности натуральные числа могут быть идентифицированы с парами вида
Алгебраические свойства. Основные алгебраические свойства введённых арифметических операций на целых числах суммированы.
Таким образом
является абелевой группой, а также циклической группой, порождённой элементами и .
Любая бесконечная циклическая группа изоморфна .
является коммутативным моноидом, но не является группой.
Суммируя, представляет собой коммутативное кольцо с нейтральным элементами относительно обеих операций.
Обычное деление не определено на множестве целых чисел, но определено так называемое деление с остатком: для любых целых a и b, , существует единственный набор целых чисел q и r, что a = bq + r и, где |b| — абсолютная величина (модуль) числа b. Здесь a — делимое, b — делитель, q — частное, r — остаток. На этой операции основан алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел.
Теоретико-множественные свойства — линейно упорядоченное множество без верхней и нижней границ. Порядок в нём задается соотношениями:
… < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < …
Целое число называется положительным, если оно больше нуля, отрицательным, если меньше нуля. Нуль не является положительным.

Спасибо

без знаков после запятой (без долей)

Спасибо