Версия №1:
Писатель М. Е. Салтыков, как вспоминает его сын, избрал псевдоним Щедрин по совету жены как производное от слова "щедрый".
Версия №2:
Псевдоним «Щедрин» писатель предположительно взял в Заозерье, заметив и запомнив заозерских крестьян Щедриных, щедро награжденных самой жизнью многочисленными бедами, несчастьями, нуждой, горем и бедностью) хорошо знал быт и жизнь крестьян. Он подолгу жил в своем Заозерском имении
Версия № 3: По долгу службы он вел дела раскольников Вятской, Пермской, Нижегородской и Казанской губерний. Его тогда впечатлил дородный купец Трофим Щедрин, мудрец и острослов. В память об этой встрече Салтыков взял литературный псевдоним – Щедрин.
В марте 1855 г. Салтыков произвел в Казани обыск у казанского купца Щедрина и подробно допрашивал его, выяснив из допроса, что Щедрин - "раскольничий лжепоп". Между этим допросом и появлением в печати первого из "Губернских очерков", подписанным псевдонимом Щедрина, прошло лишь полтора года; целый ряд фамилий вятских чиновников в слегка измененном виде был употреблен Салтыковым в ряде этих очерков. Совершенно несомненно, что и псевдоним свой Салтыков заимствовал из этого бытового дела времен недавней своей провинциальной службы.
Так казанский "раскольничий лжепоп", сам того не зная, дал писателю псевдоним, получивший бессмертие в русской литературе.
Эта версия мне представляется наиболее правдоподобной
http://az.lib.ru/s/saltykow_m_e/text_0230.shtml