Математика. Как такие задачи решаются? Нужен принцип решения.

Question

Математика. Как такие задачи решаются? Нужен принцип решения.

никита вострухин Гуру (3657), закрыт 14 лет назад

Найдите все натуральные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных натуральных делителя (включая 1 и само число).

Answer 1

Наверное, это числа кратные произведению 42-х первых натуральных чисел:
1*2*3*4*5*6*7...*42.
Первое такое число будет иметь 42 делителя и делиться на 42.
далее, подходят все числа кратные 1*3*4*5*...43, потом 1*4*5*6*...44, и т. д.
Но по-моему, таких чисел бесконечное множество и все найти все равно не удастся.

Answer 2

Так как 42=2•3•7, а искомые числа делятся на 42, то в число их простых делителей входят числа 2, 3 и 7, а значит вид этих чисел n= 2^α1• 3^α2•7^α3•Q (Q- остальная часть канонического разложения числа n на простые множители - см. ниже это разложение) . Чтобы использовать формулу числа делителей (число натуральных делителей числа n t(n)=(α1+1)(α2+1)...(αk+1)), число 42 надо разложить в произведение не менее 3 множителей, больших 1. Однако, с точностью до порядка следования этих множителей, это можно сделать единственным способом: 42=2•3•7 Это означает, что Q=1 и n= 2^α1• 3^α2•7^α3, а значит, (α1+1)•(α2+1)(α3+1)=2•3•7
Отсюда имеем следующие случаи:

Запись можно было сделать короче, если заметить, что речь идет о перестановке в показателях трех чисел 1,2 и 6.
(В число натуральных делителей включается единица и само число.)