Есть ли теории без аксиом . И аксиомы без веры в них?

да, иногда началом теории может быть импульс или информация, (не знаю как сказать точнее ) из совести,
ответ на вторую часть вопроса - нет

Есть.

Вся математика - пример теорий, в которых аксиомы не требуют веры.
То же в физике.

Более того, любая теория в математике и физике сначала рождалась, а уже потом приводилась к аксиоматическому виду, так что для каждой теории было время, когда она была без аксиом.

Суть аксиом вовсе не в вере, суть в обобщении теории.

Верующий не может одновременно верить в противоположные догмы (хотя - черт их знает, может и может?) , а математик или физик может прекрасно работать над теориями с разными системами аксиом.

Аксиомы существуют только в математических теориях.
И в математике совершенно отсутствует такое понятие,
как "вера в истинность аксиом".
Присутствует лишь вывод истинности теорем,
при условии,
что соответствующие аксиомы истинны.
Пример "теоремы": "Если на вас упадёт кирпич, то вам будет неприятно. "
"На вас упадёт кирпич" - здесь работает как аксиома.
Но нет утверждения, что она истинна...

Когда теория еще формируется, в ее основе могут лежать обобщения, полученные путем индукции, или умозрительные гипотезы. Это не аксиомы, поскольку подлежат доказательству.
Во всех науках, кроме математики, веры в аксиомы, строго говоря, нет. Все базовые положения и презумпции могут быть заменены другими, если для этого будут основания. В математике веры тоже нет, но по другой причине - ввиду ее идеального умозрительного характера.
Но вот для того, чтобы тратить ресурсы на проверку конкретной гипотезы, в нее следует верить. Это имеет смысл, даже если она окажется неверной: только вера придает сил довести проверку до однозначного решения.

Первое- теория эволюции. Второе- существование Творца.