Можно ли купить и самой вставить иглу в швейную машинку?

Конечно можно, анна!
Возьми тонкую плоскую отвертку и открути винт на самом конце штанги в которую вставлена иголка.
Винт закручен сильно, тебе придется попотеть.
Потом осторожно вынимаешь обломок иголки и идешь с ним в магазин швейных принадлежностей и бижутерии (или у мамы в загашнике пошарь - должны быть запасные иголки!) .
Потом точно так же как стояла сломанная иголка, той же стороной вставляешь новую, строго соблюдая положение (там плоская проточка такая есть на хвостовике иголки) , закручиваешь крепко винт, и все.

Впрочем, мне кажется мама не будет тебя ругать. Это же мелочи....))))))))))))