теорема о четырех точках трапеции

Формулировка теоремы : в трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон располагаются
на одной прямой.
Для этого докажем, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции и через точку пересечения продолжений ее боковых сторон, делит основания трапеции пополам.
Обозначим через E и F середины оснований AD и BC трапеции ABCD; K - точка пересечения ее диагоналей, M - точка пересечения продолжений боковых сторон .
Заметим, что точки M, E и F лежат на одной прямой. Это следует из подобия треугольников BMC и AMD. В каждом из них отрезки ME и MF соответственно являются медианами, а значит, они делят угол при вершине M на одинаковые части.
Точно так же на одной прямой расположены точки K, E и F. (Здесь это следует из подобия треугольников BKC и DKA.) Значит, все четыре токи M, E, K и F лежат на одной прямой, т. е. прямая MK проходит через E и F.